\(\int \frac {(A+C \cos ^2(c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx\) [591]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 376 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {\left (35 a^4 A b^4-28 a^2 A b^6+8 A b^8-2 a^8 C-a^6 b^2 (20 A+3 C)\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}-\frac {4 A b \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-(35*a^4*A*b^4-28*a^2*A*b^6+8*A*b^8-2*a^8*C-a^6*b^2*(20*A+3*C))*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1
/2))/a^5/(a-b)^(7/2)/(a+b)^(7/2)/d-4*A*b*arctanh(sin(d*x+c))/a^5/d+1/6*(68*a^2*A*b^4-24*A*b^6+a^6*(6*A-11*C)-a
^4*b^2*(65*A+4*C))*tan(d*x+c)/a^4/(a^2-b^2)^3/d+1/3*(A*b^2+C*a^2)*tan(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^3-
1/6*(4*A*b^4-3*a^4*C-a^2*b^2*(9*A+2*C))*tan(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))^2-1/2*(11*a^2*A*b^4-4*A*
b^6-2*a^6*C-3*a^4*b^2*(4*A+C))*tan(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 2.26 (sec) , antiderivative size = 376, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.182, Rules used = {3135, 3134, 3080, 3855, 2738, 211} \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {4 A b \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \tan (c+d x)}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)+4 A b^4\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)+68 a^2 A b^4-24 A b^6\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^3}-\frac {\left (-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)+11 a^2 A b^4-4 A b^6\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (-2 a^8 C-a^6 b^2 (20 A+3 C)+35 a^4 A b^4-28 a^2 A b^6+8 A b^8\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 d (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2}} \]

[In]

Int[((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

-(((35*a^4*A*b^4 - 28*a^2*A*b^6 + 8*A*b^8 - 2*a^8*C - a^6*b^2*(20*A + 3*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/
2])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - (4*A*b*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + ((68*a^2*A*b^
4 - 24*A*b^6 + a^6*(6*A - 11*C) - a^4*b^2*(65*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 + a^2*
C)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((4*A*b^4 - 3*a^4*C - a^2*b^2*(9*A + 2*C))*Tan[c
+ d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((11*a^2*A*b^4 - 4*A*b^6 - 2*a^6*C - 3*a^4*b^2*(4*A
+ C))*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3080

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Dist[(B*c - A
*d)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3135

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 + a^2*C))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c
+ d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)),
Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C) + d*(A*b^2 + a^2*C
)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 + a^2*C) + b*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 + a^2*C)*(m + n +
3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && L
tQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\int \frac {\left (-4 A b^2+a^2 (3 A-C)-3 a b (A+C) \cos (c+d x)+3 \left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx}{3 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\left (-23 a^2 A b^2+12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)+2 a b \left (A b^2-a^2 (6 A+5 C)\right ) \cos (c+d x)-2 \left (4 A b^4-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)-a b \left (4 A b^4-a^2 b^2 (7 A-4 C)+a^4 (18 A+11 C)\right ) \cos (c+d x)-3 \left (11 a^2 A b^4-4 A b^6-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (-24 A b \left (a^2-b^2\right )^3-3 a \left (11 a^2 A b^4-4 A b^6-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \cos (c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {(4 A b) \int \sec (c+d x) \, dx}{a^5}-\frac {\left (35 a^4 A b^4-28 a^2 A b^6+8 A b^8-2 a^8 C-a^6 b^2 (20 A+3 C)\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {4 A b \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (35 a^4 A b^4-28 a^2 A b^6+8 A b^8-2 a^8 C-a^6 b^2 (20 A+3 C)\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {\left (20 a^6 A b^2-35 a^4 A b^4+28 a^2 A b^6-8 A b^8+2 a^8 C+3 a^6 b^2 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}-\frac {4 A b \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (warning: unable to verify)

Time = 5.47 (sec) , antiderivative size = 515, normalized size of antiderivative = 1.37 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {\cos (c+d x) \left (C+A \sec ^2(c+d x)\right ) \left (\frac {24 \left (-35 a^4 A b^4+28 a^2 A b^6-8 A b^8+2 a^8 C+a^6 b^2 (20 A+3 C)\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right ) \cos (c+d x)}{\left (-a^2+b^2\right )^{7/2}}+96 A b \cos (c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )-96 A b \cos (c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+\frac {a \left (24 a^9 A-36 a^7 A b^2-246 a^5 A b^4+318 a^3 A b^6-120 a A b^8-54 a^7 b^2 C-6 a^5 b^4 C-b \left (-28 a^2 A b^6+72 A b^8-5 a^4 b^4 (61 A-4 C)-72 a^8 (A-C)+a^6 b^2 (438 A+13 C)\right ) \cos (c+d x)+6 a b^2 \left (57 a^2 A b^4-20 A b^6+a^6 (6 A-9 C)-a^4 b^2 (53 A+C)\right ) \cos (2 (c+d x))+6 a^6 A b^3 \cos (3 (c+d x))-65 a^4 A b^5 \cos (3 (c+d x))+68 a^2 A b^7 \cos (3 (c+d x))-24 A b^9 \cos (3 (c+d x))-11 a^6 b^3 C \cos (3 (c+d x))-4 a^4 b^5 C \cos (3 (c+d x))\right ) \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))^3}\right )}{12 a^5 d (2 A+C+C \cos (2 (c+d x)))} \]

[In]

Integrate[((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

(Cos[c + d*x]*(C + A*Sec[c + d*x]^2)*((24*(-35*a^4*A*b^4 + 28*a^2*A*b^6 - 8*A*b^8 + 2*a^8*C + a^6*b^2*(20*A +
3*C))*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]*Cos[c + d*x])/(-a^2 + b^2)^(7/2) + 96*A*b*Cos[c + d
*x]*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(c + d*x)/2]] - 96*A*b*Cos[c + d*x]*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]] +
(a*(24*a^9*A - 36*a^7*A*b^2 - 246*a^5*A*b^4 + 318*a^3*A*b^6 - 120*a*A*b^8 - 54*a^7*b^2*C - 6*a^5*b^4*C - b*(-2
8*a^2*A*b^6 + 72*A*b^8 - 5*a^4*b^4*(61*A - 4*C) - 72*a^8*(A - C) + a^6*b^2*(438*A + 13*C))*Cos[c + d*x] + 6*a*
b^2*(57*a^2*A*b^4 - 20*A*b^6 + a^6*(6*A - 9*C) - a^4*b^2*(53*A + C))*Cos[2*(c + d*x)] + 6*a^6*A*b^3*Cos[3*(c +
d*x)] - 65*a^4*A*b^5*Cos[3*(c + d*x)] + 68*a^2*A*b^7*Cos[3*(c + d*x)] - 24*A*b^9*Cos[3*(c + d*x)] - 11*a^6*b^
3*C*Cos[3*(c + d*x)] - 4*a^4*b^5*C*Cos[3*(c + d*x)])*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*(a + b*Cos[c + d*x])^3)))/(1
2*a^5*d*(2*A + C + C*Cos[2*(c + d*x)]))

Maple [A] (verified)

Time = 3.96 (sec) , antiderivative size = 528, normalized size of antiderivative = 1.40

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}-\frac {4 A b \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{5}}+\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}+5 A \,a^{3} b^{3}-18 A \,a^{2} b^{4}-2 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}+6 C \,a^{6}+3 C \,a^{5} b +2 C \,a^{4} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}-\frac {2 \left (30 A \,a^{4} b^{2}-29 A \,a^{2} b^{4}+9 A \,b^{6}+9 C \,a^{6}+C \,a^{4} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}-5 A \,a^{3} b^{3}-18 A \,a^{2} b^{4}+2 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}+6 C \,a^{6}-3 C \,a^{5} b +2 C \,a^{4} b^{2}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}\right )}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (20 A \,a^{6} b^{2}-35 A \,a^{4} b^{4}+28 A \,a^{2} b^{6}-8 A \,b^{8}+2 C \,a^{8}+3 C \,a^{6} b^{2}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{\left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}}{a^{5}}-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {4 A b \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{5}}}{d}\)	\(528\)
default	\(\frac {-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}-\frac {4 A b \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{5}}+\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}+5 A \,a^{3} b^{3}-18 A \,a^{2} b^{4}-2 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}+6 C \,a^{6}+3 C \,a^{5} b +2 C \,a^{4} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}-\frac {2 \left (30 A \,a^{4} b^{2}-29 A \,a^{2} b^{4}+9 A \,b^{6}+9 C \,a^{6}+C \,a^{4} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}-5 A \,a^{3} b^{3}-18 A \,a^{2} b^{4}+2 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}+6 C \,a^{6}-3 C \,a^{5} b +2 C \,a^{4} b^{2}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}\right )}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (20 A \,a^{6} b^{2}-35 A \,a^{4} b^{4}+28 A \,a^{2} b^{6}-8 A \,b^{8}+2 C \,a^{8}+3 C \,a^{6} b^{2}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{\left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}}{a^{5}}-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {4 A b \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{5}}}{d}\)	\(528\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2029\)

[In]

int((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+cos(d*x+c)*b)^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(-A/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)-4*A*b/a^5*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+2/a^5*((-1/2*(20*A*a^4*b^2+5*A*a^3*b^3-1
8*A*a^2*b^4-2*A*a*b^5+6*A*b^6+6*C*a^6+3*C*a^5*b+2*C*a^4*b^2)*a*b/(a-b)/(a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x+1
/2*c)^5-2/3*(30*A*a^4*b^2-29*A*a^2*b^4+9*A*b^6+9*C*a^6+C*a^4*b^2)*a*b/(a^2+2*a*b+b^2)/(a^2-2*a*b+b^2)*tan(1/2*
d*x+1/2*c)^3-1/2*(20*A*a^4*b^2-5*A*a^3*b^3-18*A*a^2*b^4+2*A*a*b^5+6*A*b^6+6*C*a^6-3*C*a^5*b+2*C*a^4*b^2)*a*b/(
a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^3+1/2*(
20*A*a^6*b^2-35*A*a^4*b^4+28*A*a^2*b^6-8*A*b^8+2*C*a^8+3*C*a^6*b^2)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)/((a-b)*(a+b)
)^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))-A/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)+4*A*b/a^5*ln(tan(1/
2*d*x+1/2*c)-1))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1170 vs. \(2 (356) = 712\).

Time = 20.06 (sec) , antiderivative size = 2410, normalized size of antiderivative = 6.41 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/12*(3*((2*C*a^8*b^3 + (20*A + 3*C)*a^6*b^5 - 35*A*a^4*b^7 + 28*A*a^2*b^9 - 8*A*b^11)*cos(d*x + c)^4 + 3*(2
*C*a^9*b^2 + (20*A + 3*C)*a^7*b^4 - 35*A*a^5*b^6 + 28*A*a^3*b^8 - 8*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 3*(2*C*a^10*b +
(20*A + 3*C)*a^8*b^3 - 35*A*a^6*b^5 + 28*A*a^4*b^7 - 8*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (2*C*a^11 + (20*A + 3*C)*a
^9*b^2 - 35*A*a^7*b^4 + 28*A*a^5*b^6 - 8*A*a^3*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (
2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x
+ c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) + 24*((A*a^8*b^4 - 4*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4*b^8 - 4*A*a^2*b^10 + A*b^12)*cos
(d*x + c)^4 + 3*(A*a^9*b^3 - 4*A*a^7*b^5 + 6*A*a^5*b^7 - 4*A*a^3*b^9 + A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(A*a^10*b^
2 - 4*A*a^8*b^4 + 6*A*a^6*b^6 - 4*A*a^4*b^8 + A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (A*a^11*b - 4*A*a^9*b^3 + 6*A*a^7*b
^5 - 4*A*a^5*b^7 + A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) - 24*((A*a^8*b^4 - 4*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4*b^8
- 4*A*a^2*b^10 + A*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*(A*a^9*b^3 - 4*A*a^7*b^5 + 6*A*a^5*b^7 - 4*A*a^3*b^9 + A*a*b^11)*
cos(d*x + c)^3 + 3*(A*a^10*b^2 - 4*A*a^8*b^4 + 6*A*a^6*b^6 - 4*A*a^4*b^8 + A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (A*a^1
1*b - 4*A*a^9*b^3 + 6*A*a^7*b^5 - 4*A*a^5*b^7 + A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) - 2*(6*A*a^12
- 24*A*a^10*b^2 + 36*A*a^8*b^4 - 24*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4*b^8 + ((6*A - 11*C)*a^9*b^3 - (71*A - 7*C)*a^7*b^5 + (
133*A + 4*C)*a^5*b^7 - 92*A*a^3*b^9 + 24*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(3*(2*A - 3*C)*a^10*b^2 - (59*A - 8*C)*a
^8*b^4 + (110*A + C)*a^6*b^6 - 77*A*a^4*b^8 + 20*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (18*(A - C)*a^11*b - (132*A - 23
*C)*a^9*b^3 + (239*A - 7*C)*a^7*b^5 - (169*A - 2*C)*a^5*b^7 + 44*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13
*b^3 - 4*a^11*b^5 + 6*a^9*b^7 - 4*a^7*b^9 + a^5*b^11)*d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 6*a^10*b^6
- 4*a^8*b^8 + a^6*b^10)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^15*b - 4*a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 - 4*a^9*b^7 + a^7*b^9)*d*cos(d
*x + c)^2 + (a^16 - 4*a^14*b^2 + 6*a^12*b^4 - 4*a^10*b^6 + a^8*b^8)*d*cos(d*x + c)), 1/6*(3*((2*C*a^8*b^3 + (2
0*A + 3*C)*a^6*b^5 - 35*A*a^4*b^7 + 28*A*a^2*b^9 - 8*A*b^11)*cos(d*x + c)^4 + 3*(2*C*a^9*b^2 + (20*A + 3*C)*a^
7*b^4 - 35*A*a^5*b^6 + 28*A*a^3*b^8 - 8*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 3*(2*C*a^10*b + (20*A + 3*C)*a^8*b^3 - 35*A
*a^6*b^5 + 28*A*a^4*b^7 - 8*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (2*C*a^11 + (20*A + 3*C)*a^9*b^2 - 35*A*a^7*b^4 + 28*A
*a^5*b^6 - 8*A*a^3*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x +
c))) - 12*((A*a^8*b^4 - 4*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4*b^8 - 4*A*a^2*b^10 + A*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*(A*a^9*b^3 - 4*A
*a^7*b^5 + 6*A*a^5*b^7 - 4*A*a^3*b^9 + A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(A*a^10*b^2 - 4*A*a^8*b^4 + 6*A*a^6*b^6 -
4*A*a^4*b^8 + A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (A*a^11*b - 4*A*a^9*b^3 + 6*A*a^7*b^5 - 4*A*a^5*b^7 + A*a^3*b^9)*co
s(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) + 12*((A*a^8*b^4 - 4*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4*b^8 - 4*A*a^2*b^10 + A*b^12)*cos(d*
x + c)^4 + 3*(A*a^9*b^3 - 4*A*a^7*b^5 + 6*A*a^5*b^7 - 4*A*a^3*b^9 + A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(A*a^10*b^2 -
4*A*a^8*b^4 + 6*A*a^6*b^6 - 4*A*a^4*b^8 + A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (A*a^11*b - 4*A*a^9*b^3 + 6*A*a^7*b^5
- 4*A*a^5*b^7 + A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) + (6*A*a^12 - 24*A*a^10*b^2 + 36*A*a^8*b^4 - 2
4*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4*b^8 + ((6*A - 11*C)*a^9*b^3 - (71*A - 7*C)*a^7*b^5 + (133*A + 4*C)*a^5*b^7 - 92*A*a^3*b^
9 + 24*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(3*(2*A - 3*C)*a^10*b^2 - (59*A - 8*C)*a^8*b^4 + (110*A + C)*a^6*b^6 - 77*
A*a^4*b^8 + 20*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (18*(A - C)*a^11*b - (132*A - 23*C)*a^9*b^3 + (239*A - 7*C)*a^7*b^
5 - (169*A - 2*C)*a^5*b^7 + 44*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13*b^3 - 4*a^11*b^5 + 6*a^9*b^7 - 4*
a^7*b^9 + a^5*b^11)*d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 6*a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 + a^6*b^10)*d*cos(d*x
+ c)^3 + 3*(a^15*b - 4*a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 - 4*a^9*b^7 + a^7*b^9)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^16 - 4*a^14*b^2 + 6
*a^12*b^4 - 4*a^10*b^6 + a^8*b^8)*d*cos(d*x + c))]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)**2)*sec(d*x+c)**2/(a+b*cos(d*x+c))**4,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 871 vs. \(2 (356) = 712\).

Time = 0.38 (sec) , antiderivative size = 871, normalized size of antiderivative = 2.32 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/3*(3*(2*C*a^8 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2 - 35*A*a^4*b^4 + 28*A*a^2*b^6 - 8*A*b^8)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)
/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^1
1 - 3*a^9*b^2 + 3*a^7*b^4 - a^5*b^6)*sqrt(a^2 - b^2)) + 12*A*b*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/a^5 - 12*A*b
*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 1))/a^5 + (18*C*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 27*C*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*
c)^5 + 60*A*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*C*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 105*A*a^5*b^4*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^5 - 3*C*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 24*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*C*a^4*b^5*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^5 + 117*A*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 24*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 42*A*a*b^8*tan(1/2*d
*x + 1/2*c)^5 + 18*A*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*C*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 120*A*a^6*b^3*tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^3 - 32*C*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 236*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*C*a^4*b^5*tan(1/
2*d*x + 1/2*c)^3 + 152*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 36*A*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*C*a^8*b*tan(1/2
*d*x + 1/2*c) + 27*C*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 60*A*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*C*a^6*b^3*tan(1/2*d*
x + 1/2*c) + 105*A*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 3*C*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 24*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c) + 6*C*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 117*A*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 24*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x +
1/2*c) + 42*A*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18*A*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^10 - 3*a^8*b^2 + 3*a^6*b^4 - a^4
*b^6)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^3) + 6*A*tan(1/2*d*x + 1/2*c)/((tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^2 - 1)*a^4))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 15.08 (sec) , antiderivative size = 10078, normalized size of antiderivative = 26.80 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + C*cos(c + d*x)^2)/(cos(c + d*x)^2*(a + b*cos(c + d*x))^4),x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(18*A*a^8 + 72*A*b^8 - 236*A*a^2*b^6 + 47*A*a^3*b^5 + 273*A*a^4*b^4 - 60*A*a^5*b^3 - 72
*A*a^6*b^2 + 10*C*a^4*b^4 - 7*C*a^5*b^3 + 45*C*a^6*b^2 - 12*A*a*b^7 - 18*C*a^7*b))/(3*a^4*(a + b)^2*(a - b)^3)
+ (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(18*A*a^8 + 72*A*b^8 - 236*A*a^2*b^6 - 47*A*a^3*b^5 + 273*A*a^4*b^4 + 60*A*a^5*b^3 -
72*A*a^6*b^2 + 10*C*a^4*b^4 + 7*C*a^5*b^3 + 45*C*a^6*b^2 + 12*A*a*b^7 + 18*C*a^7*b))/(3*a^4*(a + b)^3*(a - b)^
2) - (tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*A*b^7 - 2*A*a^7 - 24*A*a^2*b^5 - 11*A*a^3*b^4 + 26*A*a^4*b^3 + 6*A*a^5*b^2 + 2*C*a
^4*b^3 - 3*C*a^5*b^2 + 4*A*a*b^6 - 2*A*a^6*b + 6*C*a^6*b))/(a^4*(a + b)*(a - b)^3) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(2*
A*a^7 + 8*A*b^7 - 24*A*a^2*b^5 + 11*A*a^3*b^4 + 26*A*a^4*b^3 - 6*A*a^5*b^2 + 2*C*a^4*b^3 + 3*C*a^5*b^2 - 4*A*a
*b^6 - 2*A*a^6*b + 6*C*a^6*b))/(a^4*(a + b)^3*(a - b)))/(d*(3*a*b^2 + 3*a^2*b - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a^2*b
- 6*b^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(6*a*b^2 - 2*a^3 + 4*b^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(2*a^3 - 6*a*b^2 + 4*b^3) + a
^3 + b^3 - tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3))) + (A*b*atan(((A*b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(12
8*A^2*b^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*
a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768
*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 48*A
*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^1
1 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 -
5*a^17*b^2) - (4*A*b*((16*(2*C*a^24 + 8*A*a^10*b^14 - 4*A*a^11*b^13 - 52*A*a^12*b^12 + 25*A*a^13*b^11 + 143*A*
a^14*b^10 - 63*A*a^15*b^9 - 217*A*a^16*b^8 + 87*A*a^17*b^7 + 193*A*a^18*b^6 - 73*A*a^19*b^5 - 95*A*a^20*b^4 +
36*A*a^21*b^3 + 20*A*a^22*b^2 + 3*C*a^15*b^9 - 3*C*a^16*b^8 - 7*C*a^17*b^7 + 7*C*a^18*b^6 + 3*C*a^19*b^5 - 3*C
*a^20*b^4 + 3*C*a^21*b^3 - 3*C*a^22*b^2 - 8*A*a^23*b - 2*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5
*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (3
2*A*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 +
120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22
*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^
14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))))/a^5)*4i)/a^5 + (A*b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 +
4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 26
00*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5
+ 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 +
136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10
+ 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) +
(4*A*b*((16*(2*C*a^24 + 8*A*a^10*b^14 - 4*A*a^11*b^13 - 52*A*a^12*b^12 + 25*A*a^13*b^11 + 143*A*a^14*b^10 - 6
3*A*a^15*b^9 - 217*A*a^16*b^8 + 87*A*a^17*b^7 + 193*A*a^18*b^6 - 73*A*a^19*b^5 - 95*A*a^20*b^4 + 36*A*a^21*b^3
+ 20*A*a^22*b^2 + 3*C*a^15*b^9 - 3*C*a^16*b^8 - 7*C*a^17*b^7 + 7*C*a^18*b^6 + 3*C*a^19*b^5 - 3*C*a^20*b^4 + 3
*C*a^21*b^3 - 3*C*a^22*b^2 - 8*A*a^23*b - 2*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5
*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (32*A*b*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9
+ 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(
a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a
^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))))/a^5)*4i)/a^5)/((32*(128*A^3*b^16 - 64*A^3*a*b^15 - 832*A^3*a^2*b^14 + 40
0*A^3*a^3*b^13 + 2288*A^3*a^4*b^12 - 1088*A^3*a^5*b^11 - 3472*A^3*a^6*b^10 + 1602*A^3*a^7*b^9 + 3088*A^3*a^8*b
^8 - 1280*A^3*a^9*b^7 - 1520*A^3*a^10*b^6 + 480*A^3*a^11*b^5 + 320*A^3*a^12*b^4 + 8*A*C^2*a^15*b + 18*A*C^2*a^
11*b^5 + 24*A*C^2*a^13*b^3 - 48*A^2*C*a^5*b^11 - 48*A^2*C*a^6*b^10 + 160*A^2*C*a^7*b^9 + 112*A^2*C*a^8*b^8 - 1
48*A^2*C*a^9*b^7 - 48*A^2*C*a^10*b^6 + 8*A^2*C*a^11*b^5 - 48*A^2*C*a^12*b^4 + 128*A^2*C*a^13*b^3 + 32*A^2*C*a^
14*b^2))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^1
8*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (4*A*b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*C^2*a^16 - 12
8*A^2*a*b^15 - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10
+ 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*
b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^
8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 +
5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) - (4*A*b*((16*(2
*C*a^24 + 8*A*a^10*b^14 - 4*A*a^11*b^13 - 52*A*a^12*b^12 + 25*A*a^13*b^11 + 143*A*a^14*b^10 - 63*A*a^15*b^9 -
217*A*a^16*b^8 + 87*A*a^17*b^7 + 193*A*a^18*b^6 - 73*A*a^19*b^5 - 95*A*a^20*b^4 + 36*A*a^21*b^3 + 20*A*a^22*b^
2 + 3*C*a^15*b^9 - 3*C*a^16*b^8 - 7*C*a^17*b^7 + 7*C*a^18*b^6 + 3*C*a^19*b^5 - 3*C*a^20*b^4 + 3*C*a^21*b^3 - 3
*C*a^22*b^2 - 8*A*a^23*b - 2*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*
a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (32*A*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*
a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8
- 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 -
a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^1
6*b^3 - 5*a^17*b^2))))/a^5))/a^5 - (4*A*b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 -
768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^
7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*
a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^1
0*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 1
0*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) + (4*A*b*((16*(2*C*a^24 + 8*A*
a^10*b^14 - 4*A*a^11*b^13 - 52*A*a^12*b^12 + 25*A*a^13*b^11 + 143*A*a^14*b^10 - 63*A*a^15*b^9 - 217*A*a^16*b^8
+ 87*A*a^17*b^7 + 193*A*a^18*b^6 - 73*A*a^19*b^5 - 95*A*a^20*b^4 + 36*A*a^21*b^3 + 20*A*a^22*b^2 + 3*C*a^15*b
^9 - 3*C*a^16*b^8 - 7*C*a^17*b^7 + 7*C*a^18*b^6 + 3*C*a^19*b^5 - 3*C*a^20*b^4 + 3*C*a^21*b^3 - 3*C*a^22*b^2 -
8*A*a^23*b - 2*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*
a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (32*A*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^23*b - 8*a^1
0*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^
7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^
9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17
*b^2))))/a^5))/a^5))*8i)/(a^5*d) + (atan(((((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15
- 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a
^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2
*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^
10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 -
10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) - (((16*(2*C*a^24 + 8*A*a^10*
b^14 - 4*A*a^11*b^13 - 52*A*a^12*b^12 + 25*A*a^13*b^11 + 143*A*a^14*b^10 - 63*A*a^15*b^9 - 217*A*a^16*b^8 + 87
*A*a^17*b^7 + 193*A*a^18*b^6 - 73*A*a^19*b^5 - 95*A*a^20*b^4 + 36*A*a^21*b^3 + 20*A*a^22*b^2 + 3*C*a^15*b^9 -
3*C*a^16*b^8 - 7*C*a^17*b^7 + 7*C*a^18*b^6 + 3*C*a^19*b^5 - 3*C*a^20*b^4 + 3*C*a^21*b^3 - 3*C*a^22*b^2 - 8*A*a
^23*b - 2*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*
b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2
)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a
^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18
*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 +
35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^
11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b
)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2))/(2*(a^19 - a^5*b^14
+ 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(
1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2)*1i)/(2*(a^19 - a^5*b^14 +
7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(1
28*A^2*b^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2
*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 76
8*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 48*
A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^
11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 -
5*a^17*b^2) + (((16*(2*C*a^24 + 8*A*a^10*b^14 - 4*A*a^11*b^13 - 52*A*a^12*b^12 + 25*A*a^13*b^11 + 143*A*a^14*
b^10 - 63*A*a^15*b^9 - 217*A*a^16*b^8 + 87*A*a^17*b^7 + 193*A*a^18*b^6 - 73*A*a^19*b^5 - 95*A*a^20*b^4 + 36*A*
a^21*b^3 + 20*A*a^22*b^2 + 3*C*a^15*b^9 - 3*C*a^16*b^8 - 7*C*a^17*b^7 + 7*C*a^18*b^6 + 3*C*a^19*b^5 - 3*C*a^20
*b^4 + 3*C*a^21*b^3 - 3*C*a^22*b^2 - 8*A*a^23*b - 2*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14
*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (4*tan(
c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 +
3*C*a^6*b^2)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^
9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^1
9 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19
- a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a
^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a
^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^
4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2
+ 3*C*a^6*b^2)*1i)/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 -
7*a^17*b^2)))/((32*(128*A^3*b^16 - 64*A^3*a*b^15 - 832*A^3*a^2*b^14 + 400*A^3*a^3*b^13 + 2288*A^3*a^4*b^12 -
1088*A^3*a^5*b^11 - 3472*A^3*a^6*b^10 + 1602*A^3*a^7*b^9 + 3088*A^3*a^8*b^8 - 1280*A^3*a^9*b^7 - 1520*A^3*a^10
*b^6 + 480*A^3*a^11*b^5 + 320*A^3*a^12*b^4 + 8*A*C^2*a^15*b + 18*A*C^2*a^11*b^5 + 24*A*C^2*a^13*b^3 - 48*A^2*C
*a^5*b^11 - 48*A^2*C*a^6*b^10 + 160*A^2*C*a^7*b^9 + 112*A^2*C*a^8*b^8 - 148*A^2*C*a^9*b^7 - 48*A^2*C*a^10*b^6
+ 8*A^2*C*a^11*b^5 - 48*A^2*C*a^12*b^4 + 128*A^2*C*a^13*b^3 + 32*A^2*C*a^14*b^2))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 -
a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*
a^21*b^2) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a
^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 19
20*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 +
9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*
A*C*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10
*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) - (((16*(2*C*a^24 + 8*A*a^10*b^14 - 4*A*a^11*b^13 - 52*A*a^
12*b^12 + 25*A*a^13*b^11 + 143*A*a^14*b^10 - 63*A*a^15*b^9 - 217*A*a^16*b^8 + 87*A*a^17*b^7 + 193*A*a^18*b^6 -
73*A*a^19*b^5 - 95*A*a^20*b^4 + 36*A*a^21*b^3 + 20*A*a^22*b^2 + 3*C*a^15*b^9 - 3*C*a^16*b^8 - 7*C*a^17*b^7 +
7*C*a^18*b^6 + 3*C*a^19*b^5 - 3*C*a^20*b^4 + 3*C*a^21*b^3 - 3*C*a^22*b^2 - 8*A*a^23*b - 2*C*a^23*b))/(a^22*b +
a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^
4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^
2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a
^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*
b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21
*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13
*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8
+ 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 +
35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A
*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^1
1*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)) - (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^
2*a*b^15 - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2
560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4
- 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 -
98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^
11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) + (((16*(2*C*a^24 +
8*A*a^10*b^14 - 4*A*a^11*b^13 - 52*A*a^12*b^12 + 25*A*a^13*b^11 + 143*A*a^14*b^10 - 63*A*a^15*b^9 - 217*A*a^16
*b^8 + 87*A*a^17*b^7 + 193*A*a^18*b^6 - 73*A*a^19*b^5 - 95*A*a^20*b^4 + 36*A*a^21*b^3 + 20*A*a^22*b^2 + 3*C*a^
15*b^9 - 3*C*a^16*b^8 - 7*C*a^17*b^7 + 7*C*a^18*b^6 + 3*C*a^19*b^5 - 3*C*a^20*b^4 + 3*C*a^21*b^3 - 3*C*a^22*b^
2 - 8*A*a^23*b - 2*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 -
10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b
)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2)*(8*a^23*b - 8*a^10*b
^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 -
120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^
9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b
^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(-(a + b)
^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2))/(2*(a^19 -
a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a
- b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2))/(2*(a^19 - a^5*b
^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2))))*(-(a + b)^7*(a - b)^
7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2)*1i)/(d*(a^19 - a^5*b^1
4 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2))